Frane Jelinčić rođen je 5. srpnja 1922. u Tisnom na Murteru, a podrijetlom je iz Postira na Braču. Balet je učio kod baletnih umjetnika Ane Roje, Oskara Harmoša, Marije Zibine i Margarete Froman. Plesati je počeo 1944. u Hrvatskome narodnom kazalištu u Splitu, a već sljedeće godine postao je član baletnoga zbora HNK u Zagrebu, a kasnije i solist. Tijekom 1952. studirao je na Visokoj baletnoj školi Nikolaja Legata u Londonu.
Posljednju baletnu ulogu - Princa u Labuđem jezeru - odigrao je u Philadelphiji u dobi od 50 godina.
Od 1970. do 1972. bio je direktor Baleta HNK u Zagrebu gdje je kao koreograf postavio na scenu balete "Trnoružica" Čajkovskoga i "Raymondu" Glazunova, a u suradnji s Borisom Ulrichom i Zlatkom Bourekom kreirao je balet "Multiple Vision".
Kao baletni majstor surađivao je s nacionalnim baletnim kućama u Londonu i Philadelphiji, a bio je i direktor baleta u Pittsburghu , Oslu, Garden State Baletta u Kaliforniji te baleta hamburške Staatsopere i Joffrey Baletta u New Yorku.
Od 1997. radio je na Baletnom odsjeku Akademije lijepih umjetnosti Sveučilišta u Radfordu, američka savezna država Virginia.
Iste je godine u zagrebačkome HNK-u koreografirao i režirao balet "Ščelkunščik" što je bila i njegova posljednja suradnja sa zagrebačkim Baletom.
Frane Jelinčić kremiran je 15. listopada bez formalnoga ispraćaja, a njegova je posljednja želja bila da njegov pepeo bude prosut u Atlantski ocean ispred njegove kuće u North Wildwoodu.