Burns je rođen 17. siječnja 1971. u Readingu. Automobilizmom se počeo baviti još kao dječak, a sa 15 godina upisao se u Velšku reli školu. Prvi nastup u reliju ostvario je kao 17-godišnjak, a u Svjetskom reli prvenstvu debitirao je 1991. Prvu pobjedu ostvario je u Keniji 1998. Tijekom godina skupio je deset pobjeda, a svjetski prvak bio je 2001. sa Subaruom. Još tri puta bio je viceprvak svijeta (1999., 2000. i 2002.). U svojoj posljednjoj sezoni (2003.) osvojio je četvrto mjesto u ukupnom poretku.
Vozio je sa Subaru (1993-1995, 1999-2001), Mitsubishi (1996-1998) i Peugeot (2002-2003). Godine 2003. uoči Britanskog relija dijagnosticiran mu je tumor na mozgu. Liječničke prognoze nisu mu davale puno šansi, no Burns je vjerovao da će uspjeti pobijediti bolest. U to su vjerovali i u momčadi Subarua, koja je s njim potpisala ugovor kada se već znalo da boluje od tumora na mozgu.
Zadnje dvije godine vodio je hrabru bitku s opakom bolešću. Nakon brojnih kemoterapija i zračenja, u travnju ove godine je operiran. Poslije operacije stanje se poboljšalo, ali ne zadugo. Posljednjih dana bio je u komi, a smrt je nastupila u petak navečer.
Bio je prvi Englez koji je osvojio naslov svjetskog prvaka u reliju, te, uz Colina McRaea, jedini Britanac kojemu je to uspjelo.