Kvesić je rođen 1958., u Kočerinu, kod Širokog Brijega.
U vrijeme komunističkog režima bio je proganjan zbog svog političkog djelovanja, a za demokratskih promjena početkom 90-ih, aktivno se uključio u stvaranje neovisne hrvatske države.
U jedinice Hrvatskih obrambenih snaga (HOS) uključio se u samo praskozorje Domovinskog rata.
Kao dragovoljac HOS-a, sudjelovao je u obrani Vukovara, od prvoga do posljednjeg dana i jedan je od nekolicine preživjelih HOS-ovaca koji su branili Vukovar.
Nakon pada Vukovara, Hrvatsku je nastavio braniti u postrojbama Hrvatske vojske, u kojoj je stekao čin satnika.
Nakon Domovinskog rata, aktivno se uključio u politiku.
Na dužnost predsjednika Glavnog stana biran je tri puta, a obnašao ju je do svog posljednjeg dana.
Tri puta je biran i za zastupnika u Hrvatskom saboru, a u Sisačko-moslavačkoj županiji obnašao je dužnost dožupana.
Bio je jedan od najvećih pravaša, neizmjerno odan ideji hrvatskog prava, stoji u priopćenju HSP-a.
Kvesićev odlazak veliki je gubitak za stranku, bio je duša i čuvar stranke, rekao je predsjednik HSP-a Anto Đapić.
Pogreb Velimira Kvesića održat će se u četvrtak, u Kutini.
U HSP-ovoj središnjici u Zagrebu otvorena je knjiga žalosti, a u stranka će u četvrtak održati i komemoraciju.