Rođen je 21. studenoga 1920. u Vinici pokraj Novog Mesta u Sloveniji gdje je završio gimnaziju i srednju glazbenu školu. U Ljubljani je upisao studij prava i nastavio učiti pjevanje kod prof. Trosta.
Preselivši se u Zagreb, upisao je studij agronomije i nastavio studij pjevanja kod prof. Ančice Mitrović i prof. Zlatka Šira. Debitirao je u Operi Hrvatskoga narodnog kazališta u Zagrebu 1946. ulogom "Janka" u Smetaninoj Prodanoj nevjesti.
Nastupao je kao "Rodolfo" u La Bohéme, "Pinkerton" u Madame Butterfly G. Puccinija s partnerima Dragicom Martinis, Josipom Križajem, Marijanom Radev, Milanom Šepecom i Josipom Gostičem. Šutej je nakratko radio u osječkoj Operi, a u riječkoj je Operi kao prvi tenor ostao sedam sezona.
Godine 1958. dolazi u zagrebačku Operu i ostaje sve do odlaska u mirovinu 1981. U dvadeset godina tumačio je glavne tenorske uloge u više od trideset djela domaće i svjetske operne literature. Osobito zapažene bile su njegove uloge u Verdijevim operama: "Riccarda" u Krabuljnom plesu, "Manrica" u Trubaduru, "Vojvode od Mantove" u Rigolettu, "Cavaradossija" u Tosci i druge.
Josip Šutej ostat će zapamćen kao sjajan tumač likova iz hrvatske operne literature: "Miće" u Eri s onoga svijeta, "Bojana" u Morani J. Gotovca, "Juranića" u Zajčevu Nikoli Šubiću Zrinjskom, "Adela" u Adelu i Mari J. Hatzea, "Tonića" u Starom mladiću i drugih. Josip Šutej bio je član zagrebačke Opere u doba njezina izrazita uspona i velikih gostovanja u Europi i svijetu.
Sprovod Josipa Šuteja je u utorak, 14. studenog, u 14,10 sati na Mirogoju.