Šuvar je rođen je 1936. u Zagvozdu, kraj Imotskog, a u javnosti je poznat od jeseni 1974., kada ga Sabor SRH imenuje republičkim sekretarom za prosvjetu i kulturu.
Godine 1989. izabran je za predsjednika CK SKJ. U vrijeme uspona Slobodana Miloševića i srpskoga nacionalizma izbjegao je u partijskim tijelima otvoreni sukob sa Slobodanom Miloševićem.
Nakon višestranačkih izbora u Hrvatskoj na mjestu člana Predsjedništva SFRJ zamijenio ga je Stjepan Mesić.
Godine 1997. osnovao je u Zagrebu Socijalističku radničku partiju (SRP) i kao jedini kandidat izabran je za prvog predsjednika te je tu dužnost obnašao šest godina.
Objavio je više knjiga, a nedavno je u Zagrebu predstavio drugo prošireno izdanje knjige "Hrvatski karusel - prilozi političkoj sociologiji hrvatskog društva". Tekstove objedinjene u toj knjizi objavljivao je od 1994. do 2004. u reviji "Hrvatska ljevica", koju je pokrenuo 1994.